Problèmes et discussions de l'inverse de la transformation de Laplace - 1

Recherchez $h(t)$ de $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

la discussion:

Il est nécessaire de faire une transformation inverse de Laplace. Voici les étapes à suivre pour obtenir $h(t)$ de la fonction de transfert $H(s)$:

Étape 1 : Factorisez le dénominateur de $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

Étape 2: Transformez la fraction en une forme fractionnaire partielle plus simple pour faciliter la détermination de son inverse

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Étape 3: Déterminer les coefficients

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

En comparant les coefficients, nous obtenons :

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

De $1=A+B$, nous obtenons $1=0+B\Rightarrow B=1$

De $0=4A+2B+C$, nous obtenons $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

Étape 4: Fraction partielle

Substituer $A=0$, $B=1$, et $C=-2$ dans $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

Étape 5: Transformée inverse de Laplace

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

Alors:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$Graphique:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [09920240602b/b]